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[Quantum Chemistry] 디락 표기법(Dirac Notation)

Jun_Hyeong — Sun, 27 Jun 2021 22:03:27 +0900

#Introduction

모든 분야에서 있는 사실 그대로를 표현한다면 시간이 많이 들고 복잡해서 알아보기 힘들어집니다. 이럴 때 간결하고 알아보기 쉽게 만들어주는 표기법을 사용합니다. 비슷하게, 양자역학에서 모든 식을 그대로 적는 것은 매우 비효율적입니다. 이를 위해서 양자 상태를 표현하는 표준 표기법인 디락 표기법(Dirac Notation)을 알아보겠습니다.

# Why Dirac Notation?

이전 포스팅 ^[각주:1]에서 Kinetic Energy는 다음과 같이 나타나는 것을 알아보았습니다.

Equation (1)

이러한 식을 하나만 적는다면 Equation (1)을 그대로 적어도 상관없겠지만, 다루는 시스템이 커지면 커질수록 모든 항을 그대로 적는 것보다 간결하게 표기할 수 있는 방법이 필요해집니다. 이때, 양자역학에서 양자 상태를 표현하는 표준 표기법인 Dirac notation을 사용합니다. 먼저, Equation (1)을 Dirac Notation을 이용해 표현하면,

Equation (2)

Equation (1)과 Equation (2)를 비교하면 확실하게 Dirac Notation을 사용하는 것이 간결하다는 것을 알 수 있습니다.

# What is Dirac Notation?

Dirac Notation은 "⟨" 와 "⟩", "|"을 이용해서 표현하는데, ⟨ψ|에 해당하는 부분을 Bra라고 부르고 |ψ⟩에 해당하는 부분을 Ket이라고 부릅니다.

Equation (3)

Equation (4)

브라와 켓은 각각 행 벡터(Column vector)와 열 벡터(Row vector)에 해당합니다. 특정한 고유 함수 집합 φ가 N차원 힐베르트 공간을 이루고 있다면, 브라는 Equation (5)와 같이 켓은 Equation (6)과 같이 표현합니다. 이때, *는 켤레 복소수입니다.

Equation (5)

Equation (6)

Equation (5)와 Equation (6)의 관계를 살펴봅시다. Equation (5)에 켤레 전치(conjugate transpose)^[각주:2] 혹은 에르미트 수반(Hermitian adjoint)을 취하면 Equation (6)가 됨을 확인할 수 있습니다. 즉,

Equation (7)

이 성립합니다. 행렬 표기법을 브라와 켓을 곱하면 다음 식을 얻을 수 있는데, Equaion (8)은 내적(Equation (9)에 해당합니다.

Equation (8)

Equation (9)

디락 표기법을 통해 내적을 표현할 수 있으니 연산자의 평균값의 표현도 가능합니다. 즉, Equation (10)과 같이 표현합니다.

Eqaution (10)

디락 표기법에 켤레 전치를 취하는 경우 Equation (11)이 성립합니다.

Equation (11)

Eqaution (11)을 바탕으로 Equation (10)을 확장시키면, Equation (12)에 의해서 Eqaution (13)이 성립함을 확인할 수 있습니다.

Equation (12)

Equation (13)

만약, 항에 상수가 있다면 다음과 같이 브라-캣의 바깥으로 꺼낼 수 있습니다.

Equation (14)

Equation (10)과 Eqaution (14)를 이용하면 Equation (1)을 Equation (2)로 표현할 수 있음을 알 수 있습니다.

#Problem

1. f 와 g는 함수이고 c는 상수, B는 선형 연산자일 때 식 (a)와 (b), (c)가 성립하는가? T or F

Ans : (a) True; (b) True; (c) False

2. 다음 식이 성립할 조건은?

Ans : c = c*

3. 선형 연산자 B가 B=B*를 만족할 때 다음식이 성립함을 보이시오.

Ans :

https://d2illy.tistory.com/56 [본문으로]
특정 행렬의 전치 행렬에 성분 별 켤레 복소수를 취하는 것 [본문으로]

[Quantum Chemistry] 연산자 (Operator) - 1

Jun_Hyeong — Sun, 27 Jun 2021 22:03:17 +0900

# Operator

함수는 어떤 집합의 각 원소를 다른 집합의 유일한 원소에 대응시켜줍니다. 예를 들어, Equation (1)과 같은 꼴을 이차 함수라고 부르는 것과 같이 하나의 변수를 또 다른 변수로 이어줍니다.

Equation (1)

연산자도 함수와 비슷한 특성을 가지고 있습니다. 함수가 변수와 변수를 이어준다면 연산자는 함수를 또 다른 함수와 이어준다는 것입니다. 이전 포스팅 ^[각주:1]에서 알아본 슈뢰딩거 방정식을 보면, Equation (2)에서 파동 함수에 에너지 연산자를 사용했다고 볼 수 있습니다.

Equation (2)

먼저, 연산자들 덧셈과 뺄셈은 다음과 같이 정의됩니다.

Equation (3)

Equation (4)

연산자들의 곱셈의 경우 다음과 같이 정의됩니다.

Equation (5)

즉, 함수 f(x)에 연산자 B가 먼저 연산된 후에 연산자 A를 연산해야 한다는 것을 의미합니다. 연산자들은 항상 결합 법칙(associative law)이 성립합니다.

Equation (6)

그러나 연산자는 항상 교환 법칙(commutative law)이 성립하지 않습니다. 예를 들어, 연산자 d/dx와 연산자 x에 대해서

Equation (7)

Equation (8)

Equation (6)과 Equation (7)의 결과가 다른 것을 확인할 수 있습니다. 이러한 연산자의 특징 때문에 교환자(commutator)를 정의합니다. 만약, 연산자 A와 연산자 B의 교환자가 0이면 교환 법칙이 성립한다는 것을 의미하고, 0이 아니라면 교환 법칙이 성립하지 않는다는 것을 의미합니다.

Equation (9)

Equation (7)과 Equation (8)을 통해 교환자를 계산하면,

Equation (10)

연산자 d/dx와 x는 교환 법칙이 성립하지 않는 것(do not commute)을 확인할 수 있습니다. 비슷하게 연산자 3과 d/dx의 교환자의 경우,

Equation (11)

서로 교환 법칙이 성립함(commute)을 알 수 있습니다. 수많은 연산자들 중에 다음과 같은 조건을 만족하는 연산자를 선형 연산자(Linear Operator)라고 부릅니다.

Equation (12)

Equation (13)

예를 들어, 연산자 d/dx의 경우

Equation (14)

Equation (15)

Equation (14)와 Equation (15)가 성립하므로 선형 연산자임을 알 수 있습니다. 반면, 연산자 √의 경우

Equation (16)

Equation (12)를 만족시키지 않으므로 선형 연산자가 아니라는 것을 알 수 있습니다. 이러한 선형 연산자들은 다음과 같은 성질을 만족합니다.

Equation (17)

Equation (18)

https://d2illy.tistory.com/56 [본문으로]

[Additional] 에너지 단위 변환(Energy Unit Conversion)

Jun_Hyeong — Wed, 19 May 2021 21:46:09 +0900

# Energy Conversion Table

	hartree	eV	cm^-1	kJ/mol	kcal/mol
hartree	1	27.2114	219474.6314	2625.4996	627.5095
eV	3.6749*10^-2	1	8065.5	96.487	23.061
cm^-1	4.5563*10^-6	1.2398*10^-4	1	1.1963*10^-2	2.8591*10^-3
kJ/mol	3.8088*10^-4	1.0364*10^-2	83.593	1	0.23901
kcal/mol	1.5936*10^-3	4.3363*10^-2	349.7604	4.1839	1

# Electron volt

전자볼트(electron volt)는 전자 하나가 1 볼트의 전위를 거슬러 올라갈 때 필요한 일로 정의됩니다. 즉, 다음과 같이 기본 전하 e와 1 볼트(V)의 곱으로 나타낼 수 있습니다.

Equation 1

화학에서 전자의 에너지 준위를 따질 때 방출되는 빛의 파장을 구하는 일이 많은데, Equation 2를 이용하면 쉽게 변환할 수 있습니다.

Equation 2

Equation 3

# Hartree

하트리(hartree) 에너지는 다음과 같이 정의됩니다.

Equation 4

이때, m_e는 전자의 정지 질량이며 a₀는 보어 반지름, α는 미세 구조 상수^[각주:1]를 의미합니다. 이를 바탕으로 다른 에너지 단위들과 다음과 같은 관계를 가지고 있는 것을 확인할 수 있습니다.

Equation 5

E_h = 27.2114 eV

= 4.3597 * 10^-18 J

= 2625.4996 kJ/mol

= 627.5095 kcal/mol

= 219474.6314 cm^-1

하트리는 계산화학에서 에너지의 단위로 주로 사용하기 때문에 이를 전자볼트(eV)와 파수(cm^-1)와의 관계를 알아두면 편리합니다.

# Wavenumber

파수(wavenumber)는 파장의 역수로 cm^-1단위를 주로 사용합니다.

Equation 6

Equation 7

https://en.wikipedia.org/wiki/Fine-structure_constant [본문으로]

[Quantum Chemistry] 양자역학적 에너지(QM Energy)

Jun_Hyeong — Wed, 19 May 2021 00:28:52 +0900

#Introduction

양자역학이 발전함에 따라 현대 원자 모형이 등장하게 되었습니다. 이를 바탕으로 양자역학의 기초에 대해 알아볼 것입니다.

#Classical mechanical description of atom

역사적으로 원자 구조를 설명하기 위한 시도가 많았습니다. 돌턴 모형과 톰슨 모형, 러더퍼드 모형, 보어 모형 등 시간이 지남에 따라서 실험적으로 밝혀진 사실을 설명하기 위해 원자 모형 또한 변해왔습니다. 그중에서 러더퍼드 모형을 먼저 살펴봅시다..

Figure 1. Rutherford Model

러더퍼드 원자 모형의 경우 질량의 대부분이 뭉쳐있는 핵이 존재하며 그 주위를 전자가 돌고 있다고 설명합니다. 그러나 고전 전자기학의 라모 공식에 따르면 가속하는 전자는 전자기파를 방출하는데, 이에 따라 궤도를 도는 전자의 에너지는 점차 에너지를 잃고 핵에 충돌하게 됩니다.

Figure 2. Bohr Model

이러한 문제를 해결하기 위해 보어는 전자가 오직 정해진 각운동량과 에너지를 가지는 특정한 준위의 궤도에서만 돌 수 있다는 아이디어를 이용해 보어 원자 모형을 제안합니다. 그러나 보어 모형은 오직 수소의 스펙트럼 선만을 예측할 수 있으며 다전자 원자의 경우 설명할 수 없었습니다. 더 나아가 분광학이 발전함에 따라서 설명할 수 없는 수소 스펙트럼 선이 발견되기도 하였습니다.

#Quantum mechanical description of atom

루이 드브로이가 모든 움직이는 입자는 파동과 같은 성질을 가진다는 것을 제시함에 따라서, 움직이는 전자의 성질을 파동으로 설명해보려는 시도가 생기게 됩니다. 그 결과 전자 궤도가 존재하지 않고 전자를 발견할 확률 만을 알 수 있다는 현대 원자 모형이 성립됩니다.

전하 +e를 가지는 원자 핵과 전하 -e를 가지는 전자 사이의 potential energy는 Equation (1)과 같습니다. 그렇다면 전자의 거동을 표현하는 함수를 파동 함수 ψ라고 가정하고, 확률 밀도 함수를 |ψ|²라고 정의해봅시다. 이를 이용해서 전자의 potential energy를 표현해보면,

Equation (1)

Equation (2)

Equation (2)로 표현할 수 있습니다. 이는 전자가 존재할 수 있는 x, y, z 좌표에서 Equation (1)에 전자의 존재 확률을 곱해준 것과 같습니다. 만약, |ψ|²가 구면 좌표계로 표현할 수 있다면,

Equation (3)

Equation (3)와 같이 나타낼 수 있고,

Equation (4)

이때, <r>은 전자와 핵의 거리의 평균값^[각주:1]을 의미합니다. 자세한 내용은 다른 포스팅에서 다루겠습니다. 즉, Potential Energy는 전자와 핵의 거리가 가까워질수록 작아집니다. 즉, 전자가 핵에 충돌한다는 결말로 이어집니다.

이러한 문제점을 해결하기 위해서 운동 에너지(kinetic energy)를 도입해야 합니다. 이전 포스팅^[각주:2]에서 파동의 운동에너지는 k²과 관련 있다는 사실을 확인했습니다. Equation (4)와 같이 u를 일반적인 파동 방정식으로 표현하고 x에 대해서 편미분을 두 번 진행하면 k²를 얻을 수 있습니다.

Equation (5)

즉, 운동 에너지는

과 관련된 무엇이라는 추측을 할 수 있습니다. 그렇다면 양자역학적 Kinetic energy를 정의해봅시다. 드브로이의 물질파 이론에 따라 Equation (7)가 성립합니다.

Equation (6)

Equation (7)

Equation (5)에서 얻었던 영감을 바탕으로 Equation (6)과 같이 Kinetic energy를 정의할 수 있습니다. ^[각주:3]

Equation (8)

Equation (8)에 Equation (5)의 u를 대입하면 Eqaution (7)을 얻을 수 있습니다. Equation (8)을 부분 적분을 이용해서 전개하면,

Equation (9)

Equation (9)를 얻을 수 있고, 이를 바탕으로 양자역학적 Kinetic energy는 파동 함수의 기울기의 제곱에 비례한다는 사실을 알 수 있습니다. Potential energy와는 다르게 <r>이 커지면 Kinetic energy는 더 작아지게 됩니다. 이를 그림으로 표현하면 Figure 3와 같습니다^[각주:4].

Figure (3)

파동함수 ψ의 <r>이 작아지면 ψ의 slope가 증가하게 되고 반대로 <r>이 커지면 ψ의 slope가 작아집니다. 즉, Kinetic energy와 Potential energy는 경쟁하는 관계라는 사실을 알 수 있습니다. 그러므로 KE와 PE가 균형을 이룸으로써 원자가 크기를 가질 수 있는 것입니다. 이를 원자의 에너지적 측면에서 보면 Figure 4로 표현할 수 있는데, KE와 PE가 균형을 이루는 지점이 제일 작은 에너지 값을 가지는 <r>입니다. 수소 원자의 경우 이 지점의 r을 보어 반지름(a₀)로 표현합니다.

Figure (4)

|ψ|²가 확률 밀도 함수이므로 r의 평균 값 [본문으로]
https://d2illy.tistory.com/54 [본문으로]
이때, Potential energy를 표현한 Equation (2)와 동일한 구조로 이루어져 있다는 것이 중요합니다. 실제로 ψ는 복소함수이기 때문에 Equation (8)과 같은 꼴로 표현해야 합니다. [본문으로]
파동함수 ψ에서 핵과 전자의 평균 거리, <r>과 ψ의 slope [본문으로]

[Quantum Chemistry] 복소수 (Complex number)

Jun_Hyeong — Tue, 11 May 2021 00:18:44 +0900

#KeyWords

복소수(Complex number), 복소 평면(Complex plane),

켤례 복소수(Complex conjugate), 오일러 공식(Euler's formula)

# Introduction

이전 포스팅에서 언급했던 복소수(Complex number)에 대해서 알아보고 관련된 성질들을 알아볼 것입니다.

# Complex number

복소수 z는 다음과 같은 꼴을 가지고 있습니다.

Equation (1)

이때, x와 y는 실수(real number)로 x는 복소수 z의 실수 부분(real part)라고 부르며 y는 허수 부분(imaginary part)라고 부릅니다. Equation(1)에서 y=0이면 z는 실수(real number)에 해당하며, y≠0이면 z가 허수(imaginary number)가 됩니다.

복소수 z는 복소평면(Complex plane), x축은 실수 부분에 해당하고 y축은 허수 부분에 해당하는 평면에 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 z=2+i를 복소평면에 표현한다면 Figure (1)과 같이 표현할 수 있다는 것입니다.

Figure (1)

Figure (1)에서 직관적으로 생각할 수 있는 요소가 2가지 있습니다. 첫 번째는 절댓값(absolute value)으로 |z|로 표현되며, 복소수 z와 원점 사이의 거리에 해당합니다. 두 번째는 위상(phase)으로 θ로 표현되며, 원점과 복소수 z를 이은 벡터와 양의 x축이 이루는 각도를 뜻합니다. 즉, 복소수 z는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

Equation (2)

Equation (2)를 오일러 공식, Equation (3)를 이용해 정리하면 Equation (4)로 표현할 수 있습니다.

Equation (3)

Equation (4)

여기서, 켤례 복소수(Complex conjugate)를 정의해볼 것입니다. z를 x + iy라고 정의하면 간단하게 z의 켤례 복소수는 x - iy를 뜻합니다. 즉,

Equation (5)

만약 복소수 z의 허수 부분이 0이라면 z=z*이 성립^[각주:1]하고, 모든 복소수에 대해서 (z*)*=z ^[각주:2]가 성립합니다. 복소수 z와 켤례 복소수 z*를 복소 평면에 나타내면 Figure (2)^[각주:3] 를 얻을 수 있습니다.

Figure (2)

더 나아가, 복소수 z와 z의 켤례 복소수를 곱하면, 즉 Equation (1)과 Equation (5)를 곱하면,

Equation (6)

복소수 z의 절댓값의 제곱을 얻을 수 있습니다. 더 나아가서 서로 크기와 위상이 다른 복소수 2개에 대해서,

Equation (7)

서로를 곱하면 Equation (8), 나누면 Equation (9)가 성립함을 지수법칙을 통해서 쉽게 알 수 있습니다.

Equation (8)

Equation (9)

또한, 2개의 복소수의 켤례 복소수의 경우 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

Equation (10)

양자화학을 공부할 때 복소수 자체를 자주 쓰기도 하지만, 복소수로 구성된 행렬도 자주 사용됩니다. 복소 행렬의 경우 켤례 전치(Conjugate transpose)^[각주:4]가 등장하는데, 켤례 복소수와 마찬가지로 A*^[각주:5]을 사용합니다.

Equation (11)

하지만, 복소 행렬의 경우 Equation (10)이 성립하지 않고 Equation (12)가 성립하는 것을 알아두어야 합니다. 즉, 다루는 대상이 무엇인지를 판별하고 conjugate를 하는 것이 중요하다는 것입니다. 이 작업의 중요성은 뒤에 Hermitain operator가 등장하고 연산을 할 때 다시 알아볼 것 입니다.

Equation (12)

결국 양자화학에서 관심이 있는 것은 system을 표현하는 파동 함수(wave function, ψ)입니다. 파동 함수에서 정보를 얻어오기 위해서 파동 함수끼리의 연산이 필수적이고, 파동 함수는 흔히 복소수의 형태를 가지고 있으므로 복소수와 이들의 연산에 대해 아는 것은 매우 중요합니다.

#Problem

1. 다음의 복소수의 absolute value와 phase를 구하시오

Problem (1)

Ans)

(a) 4, π (b) 2, 3/2π (c) 3√5, 0.4636π (tan^(-1)0.5) (d) 2, π/5

2. 다음의 복소수의 complex conjugate를 구하시오

Problem (2)

Ans)

3. 다음이 성립함을 증명하시오.

Problem (3)

Ans)

Equation (3)를 Problem (3)에 대입하면 성립함을 알 수 있다.

x+0i=(x+0i)* [본문으로]
(x-iy)*=x+iy [본문으로]
출처 : ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B3%B5%EC%86%8C%EC%88%98 [본문으로]
en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_transpose [본문으로]
A* 대신 A†를 사용하기도 함 [본문으로]

[Quantum Chemistry] 파동 (Wave)

Jun_Hyeong — Thu, 29 Apr 2021 23:58:55 +0900

# Introduction

이번 포스팅에서는 양자화학에 대한 내용을 다뤄볼 예정입니다. 기본적으로 내용은 I.N. Levine, "Quantum Chemistry" 7th Ed. Prentice Hall (2014)을 바탕으로 알아볼 것입니다. 개인적으로 양자화학을 공부하기에 좋은 책이라 생각됩니다. 이전에 물리 화학(Physical Chemistry)에서도 양자화학을 다뤘는데 ^[각주:1] 궁금하신 분 들은 참고하셔도 좋을 것 같습니다.

# Wave

파동(Wave)는 매질을 통해 운동이나 에너지가 전달되는 현상입니다. 에너지 자체는 시간이 지남에 따라서 공간상으로 퍼져나가지만 매질 자체는 운동을 매개할 뿐 이동하지 않습니다. 특히, 전자기파는 매질 없이 전달되는 파동이며 양자역학에서도 파동은 매질 없이 정의되는 근본적인 개념이며, 물질의 기본 성질로 파동성^[각주:2]을 이야기합니다.

Fig 1. Surface Wave

세면대의 수도꼭지에서 물방울이 떨어진다면 Fig 1^[각주:3]과 같이 물방울에 의해 파동이 생기게 될 것입니다. 이때, 평면파(2차원)를 1차원적으로 바라본다면 Fig 2와 같은 파동을 확인할 수 있을 것입니다.

Fig 2. Wave

이러한 파동을 가장 잘 표현할 수 있는 수학적인 형태는 쉽게 짐작할 수 있듯이 sin 함수와 cos 함수입니다. 흔히 파동을 다룰 때 다음과 같은 식을 활용합니다. 이때, A는 진폭(Amplitude), k는 파수(wave number), ω는 진동수(frequency)를 의미합니다.

Equation (1)

x축에 놓여있는 용수철을 잡고 y축 방향으로 흔드는 상황을 상상해봅시다. Equation (1)에서 A는 용수철을 얼마나 크게 흔들 것인가를 의미할 것이며, ω는 용수철을 얼마나 빠르게 흔들 것 인가를 의미할 것입니다. Equation (1)에서 파동의 운동 에너지를 구하기 위해 y를 t에 대해 미분을 진행하면 y축에 대한 속도를 얻을 수 있고, 이를 바탕으로 운동에너지를 구하면,

Equation (2)

Equation (3)

Equation (3)를 바탕으로 파동의 운동에너지를 결정하는 중요한 요소는 "얼마나 크게(A)"와 "얼마나 빠르게(ω)"임을 알 수 있습니다. 파동은 입자가 움직이는 것과 다르게 질량 요소가 위-아래(y축)로만 움직이지만, x축을 따라서 움직이는 것처럼 보입니다. 이를 수식적으로 표현해봅시다.

Equation (4)

Equation (5)

파동이 한번 진동하기 위한 시간은 Equation (4)와 같을 것이며, 파동의 파장은 Equation (5)와 같을 것입니다. 즉, 파동의 속도는 Equation (6)으로 표현됩니다.

Equation (6)

Equation (6)을 바탕으로 파동의 운동에너지를 표현하면, Equation (7)과 같습니다.

Equation (7)

#Wave Equation

파동 방정식을 구하기 위해서 Equation (1)을 x와 t에 대해서 2번 미분하면,

Equation (8)

Equation (9)

Equation (8)과 Equation (9)에서 공통되는 항이 존재함을 알 수 있습니다. Equation (6)을 ω에 대해 정리^[각주:4]해서 Equation(9)에 대입하고, Equation(8)로 치환하면 다음과 같은 파동 방정식을 얻을 수 있습니다.

Equation (10)

Equation (10)을 3차원으로 확장하면 Equation (11)과 같습니다.

Equation (11)

파동방정식을 만족하는 해는 Equation (1) 뿐만 아니라 다음과 같은 다양한 형태가 존재하는데,

이러한 해들의 일반적인 형태는 오일러 공식 ^[각주:5]을 통해 Equation (12)와 같이 표현할 수 있습니다. Equation (12)를 파동 방정식에 대입해도 성립하는 것을 확인할 수 있습니다.

Equation (12)

Equation (12)로 표현되는 파동들을 중첩시키면 더 일반적인 해에 해당하는 Equation (13)을 얻을 수 있습니다.

Equation (13)

특히, 양자역학을 공부하면 오일러 공식으로 표현되는 파동 Equation (12)를 자주 접하게 됩니다. Equation (12)와 같은 형태는 복소수(Complex number)로 다음 포스팅에 자세하게 알아볼 것입니다.

[Gaussian] Single Point Energy Calculation #3

Jun_Hyeong — Tue, 15 Dec 2020 20:13:42 +0900

#Gaussian Output File

이전 포스팅^[각주:1]에서 Job script와 output 파일에서 정보를 얻어오는 방법에 대해서 알아보았습니다. 이를 이용해서 Formaldehyde의 Single point Energy Calculation을 진행하고 output 파일에서 얻을 수 있는 정보에 대해서 알아보겠습니다.

- Ground State Energy

먼저, Formaldehyde의 바닥 상태 에너지를 알아봅시다. log 파일에서 SCF Done 키워드를 이용해서 특정 분자의 바닥상태 에너지를 얻을 수 있습니다.

 SCF Done:  E(RB3LYP) =  -114.495058176     A.U. after   11 cycles
            NFock= 11  Conv=0.66D-08     -V/T= 2.0094

cs

이때, 에너지의 단위가 A.U. 임을 주의해야 합니다. A.U. 은 atomic unit이라는 뜻으로 hartree를 의미합니다. 1 hartree ≈ 2625.5 kJ/mol ≈627.51kcal/mol ≈27.21eV가 성립합니다. 예를 들어, 특정 분자의 흡수 파장(absorption wavelength)을 계산할 때, 바닥 상태 에너지와 들뜬 상태 에너지의 차이를 구하고 hartree를 적절한 단위(eV)로 변환시킨 후 파장(nm)으로 변환시켜줄 수 있습니다.

Guassian 계산을 통해 에너지를 비교할 때 가장 중요한 것은 분자를 구성하는 원자의 종류와 수가 모두 동일 하면서 동일한 화학 모델(Model Chemistry)을 사용했을 때 비교 가능하다는 것입니다. 만약, Formaldehyde와 Acetone에 대해서 Single point Energy Calculation를 진행해서 에너지를 얻었을 때, 이를 비교하는 것은 의미가 없습니다.

- Dipole Moment and Higher Multipole Moment

두 번째로, Dipole moment와 Multipole moment에 대한 정보를 알아봅시다. 먼저, Dipole moment는 적용된 전기장에 대한 에너지의 1차 도함수로 분자 전하 분포의 비대칭 성을 알려줍니다. 이는 log 파일에서 Dipole moment 키워드를 이용해서 정보를 얻을 수 있습니다.

 Dipole moment (field-independent basis, Debye):
    X=              0.0000    Y=              0.0000    Z=             -2.4254  Tot=              2.4254
 Quadrupole moment (field-independent basis, Debye-Ang):
   XX=            -11.4472   YY=            -11.2990   ZZ=            -11.7954
   XY=              0.0000   XZ=             -0.0000   YZ=             -0.0000
 Traceless Quadrupole moment (field-independent basis, Debye-Ang):
   XX=              0.0667   YY=              0.2149   ZZ=             -0.2816
   XY=              0.0000   XZ=             -0.0000   YZ=             -0.0000
 Octapole moment (field-independent basis, Debye-Ang**2):
  XXX=             -0.0000  YYY=             -0.0000  ZZZ=              0.8089  XYY=             -0.0000
  XXY=             -0.0000  XXZ=              0.8049  XZZ=             -0.0000  YZZ=             -0.0000
  YYZ=             -0.3128  XYZ=             -0.0000
 Hexadecapole moment (field-independent basis, Debye-Ang**3):
 XXXX=             -9.3016 YYYY=            -16.8327 ZZZZ=            -45.0193 XXXY=             -0.0000
 XXXZ=              0.0000 YYYX=             -0.0000 YYYZ=             -0.0000 ZZZX=              0.0000
 ZZZY=              0.0000 XXYY=             -4.5880 XXZZ=             -9.0018 YYZZ=             -9.9694
 XXYZ=              0.0000 YYXZ=              0.0000 ZZXY=             -0.0000

cs

Dipole moment 아래에 있는 X와 Y, Z는 Dipole moment의 벡터 성분을 나타내며, Tot는 Dipole moment의 크기를 의미합니다. 즉, Formaldehyde의 경우 C=O를 중심으로 대칭이기 때문에 Dipole moment가 Z축 성분만이 존재하는 것입니다.

Quadrupole은 적용된 전기장에 대한 에너지의 2차 도함수로 분자 모양에 대한 간단한 정보를 제공합니다. 예를 들어, 특정 분자가 동일한 XX와 YY, ZZ의 값을 가진다면 분자의 전하 분포는 구형을 가진다는 것을 의미합니다. Formaldehyde의 경우 XX와 YY, ZZ가 서로 대략적으로 비슷한 값을 가지고 있습니다. 그러나, ZZ가 XX와 YY에 비해서 조금 더 큰 값을 가지고 있는 사실을 통해 전하 분포가 전체적으로 구형을 가지면서 Z 축 방향으로 elongation이 있을 것을 예측할 수 있습니다.

Figure 1. Charge Distribution Surface of Formaldehyde

- Molecular Orbital

마지막으로 Formaldehyde의 분자 오비탈을 얻어보겠습니다. 생성된 chk 파일을 formchk 명령어를 이용해서 fchk 파일로 변환하고 GaussView로 파일을 불러옵니다.

Figure 2. MO #1

fchk 파일이 열리면 Result 탭의 Surfaces/Contours를 클릭하면 아래와 같은 새로운 창이 뜹니다.

Figure 3. MO #2

Cubes Available 칸의 Cube Actions을 클릭하고 New Cube를 선택하면 여러가지 Cube를 생성할 수 있는데, Type을 Molecular Orbital로 지정하고 Orbitals를 HOMO, LUMO로 설정하면 HOMO와 LUMO에 해당하는 Cube가 생성됩니다.

Figure 3. MO #3

그 후, 원하는 Cube를 선택 후 Surfaces Available 칸의 Surface Action을 클릭하고 New Surface를 선택하면 원하는 분자 오비탈에 해당하는 Surface가 생성됩니다. Surface Action에서 표시하거나 숨길 수 있으며, Figure 5는 이 방법을 통해 얻은 Formaldehyde의 HOMO와 LUMO입니다. Type을 변경하면 Figure 1과 같은 전하 분포를 얻을 수도 있습니다.

Figure 4. HOMO(Left) and LUMO(Right) of Formaldehyde

또는, GaussView의 MO를 누르고 Visualize를 클릭한 후, Add Type을 HOMO, LUMO로 지정한 후 Update 버튼을 눌러주는 방법으로 분자 오비탈을 생성할 수 있습니다.

Figure 5. MO #4

이 포스팅은 Exploring Chemistry with Electronic Structure Methods, Third Edition를 기반으로 합니다.

d2illy.tistory.com/52 [본문으로]

[Gaussian] Single Point Energy Calculation #2

Jun_Hyeong — Fri, 4 Dec 2020 18:10:09 +0900

#Job Script

이전 포스팅^[각주:1]에서 Gaussian Input 파일에 대해서 알아보았습니다. Input 파일을 이용해서 계산을 돌릴 때 많은 곳에서 서버를 이용하는데, PBS(Portable Batch System) 스케줄러를 사용합니다. 작업 스케줄러를 사용하기 위해서 PBS 작업 스크립트를 작성해야 하는데, 다음과 같은 예시를 보면서 알아봅시다.

#!/bin/bash
 
#PBS -N Formaldehyde Single Point Energy Calculation
#PBS -l nodes=cnode:ppn=16
#PBS -l walltime=1000:00:00
 
module purge
 
export INPUT=Formaldehyde.com
 
## Determine GAUSS_SCRDIR.
NODES=$(cat $PBS_NODEFILE)
export GAUSS_SCRDIR=/scratch/$USER
 
module purge
 
module load g16_B.01_AVX
 
## Execute g16.
cd $PBS_O_WORKDIR
g16 $INPUT

#PBS는 PBS 작업 스케줄러의 옵션을 의미합니다. 먼저, #PBS -N 은 작업 이름을 지정해주는 옵션으로 "Formaldehyde Single Point Energy Calculation"라는 이름을 지정했습니다. 두 번째 #PBS -l은 작업에 사용할 리소스를 설정해주는 옵션으로 사용하시는 서버에 지정되어 있는 Node와 Core에 개수에 따라 자신의 작업에 적절한 리소스를 지정하면 됩니다. 또한, walltime은 작업 실행 시간으로 적절하게 지정하면 됩니다. INPUT에는 작성한 Gaussian Input 파일을 지정하고, scratch/$USER에는 자신에게 지정된 scratch 폴더를 적어줍니다. 이 외에도 PBS 작업 스케줄러는 다양한 옵션을 제공해하는데, 국가슈퍼컴퓨팅센터^[각주:2]에서 확인할 수 있습니다. 작업 스크립트 작성이 완료되면 qsub 명령어를 이용해서 작업 스크립트를 제출하면 계산이 시작됩니다. 제출한 작업을 확인하기 위해서 qstat 명령어를 이용하면 해당 작업에 부여된 job_id와 작업의 상태를 알 수 있습니다. 만약, 작업을 끝내고 싶다면 qdel 명령어와 job_id를 이용해서 작업을 멈출 수 있습니다.

#Job submit
qsub job_script.sh
 
#Check
qstat
 
#Delete
qdel job_id

cs

#Gaussian Output File

Input File을 바탕으로 계산을 진행하면 우리가 지정한 옵션에 따라서 결과를 얻을 수 있게 됩니다. 계산이 완료되면 우리는 Formaldehyde.log 파일과 Formaldehyde.chk 파일을 얻게됩니다. log 파일의 경우 계산이 진행되면서 지속적으로 작성됩니다. 만약, Input 파일에 오류가 있거나 계산을 진행하는 도중에 문제가 생기면 log 파일에 오류가 기록되면서 계산이 멈추게 됩니다. 계산이 완료되었다면 다음과 같은 문장이 나오면서 계산이 종료되게 됩니다.

 THE TEST OF A FIRST RATE INTELLIGENCE IS THE ABILITY TO HOLD TWO OPPOSED
 IDEAS IN THE MIND AT THE SAME TIME, AND STILL RETAIN THE ABILITY TO FUNCTION.
 ONE SHOULD, FOR EXAMPLE, BE ABLE TO SEE THAT THINGS ARE HOPELESS AND YET BE
 DETERMINED TO MAKE THEM OTHERWISE.
 
                                                       -- F. SCOTT FITZGERALD
 Job cpu time:       0 days 14 hours  0 minutes 34.0 seconds.
 Elapsed time:       0 days  0 hours 52 minutes 38.3 seconds.
 File lengths (MBytes):  RWF=   5528 Int=      0 D2E=      0 Chk=     81 Scr=      1
 Normal termination of Gaussian 16 at Mon Sep 28 18:05:53 2020.

cs

 
log 파일에서 정보를 얻을 수 있는 방법은 크게 2가지가 있습니다. 첫 번째는 GaussView를 이용해서 해당 파일을 열고 Result 메뉴의 Summary를 클릭하면 요약된 정보를 표시해줍니다. 계산에 사용된 Method와 Basis set를 비롯해서 Total Energy, Spin, Dipole Moment, 그리고 진동수 계산을 진행했다면 Imaginary frequency의 개수까지 보여줍니다.

두 번째는, Formaldehyde.log 파일에서 정보를 바로 얻어오는 방법입니다. 실제로 연구를 진행하면 많은 계산을 진행해야 하고 GaussView를 활용해서 하나씩 정보를 얻어오는 것은 비효율적입니다. 이때, 리눅스 grep 명령어를 사용하면 효율적으로 정보를 얻을 수 있습니다. log 파일은 많은 정보를 포함하고 있는데, 각 특성에 해당하는 문장이 있습니다. 예를 들어, Formaldehyde의 바닥 상태 에너지와 들뜬 상태 에너지를 얻고 싶다면 'SCF Done'과 'Total Energy'라는 문장을 이용해서 정보를 추출할 수 있습니다.

#Ground State Energy
grep 'SCF Done' Formaldehyde.log
 
#Excited State Energy
grep 'Total Energy' Formaldehyde.log

cs

이 방법은 특히 많은 계산을 진행하고 결과를 정리할 때 유용합니다. 바닥 상태 에너지와 들뜬 상태 에너지를 비롯해서 분자의 HOMO와 LUMO 에너지 등 매우 다양한 정보를 grep 명령어를 사용해서 간단하게 얻을 수 있습니다. 즉, 하나씩 표에 기록하지 않아도 grep 명령어를 사용해서 얻은 결과를 엑셀과 같은 프로그램을 이용해서 간단하게 표로 정리할 수 있다는 것입니다. 여러모로 활용도가 높으니 grep 명령어 사용법을 숙지하는 것이 많은 도움이 될 것 입니다.

이 포스팅은 Exploring Chemistry with Electronic Structure Methods, Third Edition를 기반으로 합니다.

Single Point Energy Calculation #1 : d2illy.tistory.com/51 [본문으로]
www.ksc.re.kr/gsjw/jcs/hd?jwgubuncode=1186&jcskey=28 [본문으로]

[Gaussian] Single Point Energy Calculation #1

Jun_Hyeong — Mon, 23 Nov 2020 21:02:54 +0900

# Introduction

Single Point Energy Calculation은 특정 기하학적 구조를 가진 분자의 에너지 및 관련 성질을 예측하는 것입니다. 이러한 계산은 분자의 PES(Potential Energy Surface)에서 하나의 고정된 지점(Single Point)에서 수행되기 때문에 계산 과정 중에 분자의 구조하 변하지 않는다는 것을 의미합니다. 즉, 유효한 결과를 얻기 위해서 분자에 대한 합리적인 구조가 필수적입니다.

Single Point Energy Calculation은 다음과 같은 목적으로 수행됩니다.

- 분자의 기초적인 정보를 얻기 위해서

- 최적화의 시작점으로 사용하기 위해 분자 구조를 확인해보기 위해서

- 낮은 Level of Theory(정확도가 낮은 이론적 방법)에서 최적화된 분자 구조의 에너지와 특성을 매우 정확하게 계산하기 위해서

- 관심 시스템에 대해 유일하게 적절한 계산일 때

분자의 총 에너지 외에 HF 및 DFT 방법을 사용한 에너지 계산은 다음과 같은 몇 가지 특성을 예측합니다.

- Dipole Moment와 더 높은 Multipole Moments

- Atomic Charge Distribution

- MO and Orbital Energies

- Electron Density and Eletrostatic Potential

에너지(Energy)라고 부르는 것은 Nuclear-Nuclear Repulsion Energy와 함께 분자의 전자 에너지, 즉 총 에너지(Total Energy)입니다. 이는 완전히 이론적인 양이며 원자들이 모두 정지해 있는 것으로 간주할 때 분자 에너지의 추정치입니다. 실제 분자는 핵의 transition과 vibration, rotation motion에서 발생하는 열 에너지(Thermal Energy)라고 불리는 추가 에너지를 가지고 있습니다.

# Setting Up and Running Calculation

Gaussian에서 Single Point Energy Calculation을 진행하기 위해 다음과 같은 정보들이 필요합니다.

- 계산에 사용할 화학 모델

- Job에 대한 간단한 설명(job title section)

- 분자의 구조: 분자의 전하와 스핀 다중도, 공간에서 핵들의 위치

이 기본적인 정보들은 모든 Gaussian 계산에 필요하며, 추가적인 정보들을 필요로 할 수 있습니다. 분자 구조의 경우 GaussView나 WebMO와 같은 프로그램으로 만들 수 있습니다.

# Understanding the Gaussian Input File

Gaussian에서 계산을 진행하기 위해서 우리는 Input File을 작성해야 합니다. 기본적인 Input File은 다음과 같이 작성됩니다.

%nproc(or %nprocshared)=16 
%mem=60GB
(%oldchk=oldchk.chk)                    
%chk=Formaldehyde.chk                                        # link 0 command section
# B3LYP/6-31G(d) geom = connectivity                         # route section
                                                             # Blank line
Formaldehyde Single Point Energy Calculation                 # job title section
                                                             # Blank line
0 1                                                          # Charge(0) and Spin Mutiplicity(1)
C -1.78001774 -0.58048206 0.00000000                         # Molecular Structure
H -1.24484917 -1.50703189 0.00000000
H -2.85001773 -0.58067672 0.00000000
O -1.15101602 -0.50943876 0.00000000
                                                             # Blank line
1 2 1.0 3 1.0 4 2.0                                          # atom connectivity information
2
3
4
                                                             # Blank line

cs

-Link 0 Command Section

먼저, Link 0 Command Section입니다. 이 부분은 Gaussian 계산에 사용할 계산 자원 및 기본 정보들을 적어주는 곳으로 % 을 이용해 조건을 적어줍니다. %nproc의 경우 계산에 사용할 CPU 혹은 GPU의 코어 개수를 명시해줍니다. 그리고 %mem은 계산에 사용할 메모리를 할당해줍니다.

Chk file은 Gaussian에서 계산을 진행할 때 이에 관한 정보를 담은 파일이며 이를 이용해서 계산을 다시 시작하거나 관련 정보를 얻을 수 있습니다. %chk로 계산을 통해 생성할 chk file을 명시해주거나 이미 존재하는 chk file을 통해 정보를 얻어올 수 있습니다. %oldchk의 경우 이전의 chk file에서 정보를 받아서 %chk에 명시되어 있는 파일로 복사를 진행합니다. 즉, %oldchk 파일은 변화가 없는 상태로 계산을 진행할 수 있습니다. 이를 이용해 계산을 순차적으로 진행할 수 있으며 특정 Step에서 최적화를 다시 진행할 수 있습니다.

- Route Section

두 번째로 Route section입니다. 이 부분은 Gaussian을 이용해 어떤 계산을 진행할 것인지 명시하는 곳으로 #으로 시작합니다. #N을 통해 기본 output을 얻을 수 있으며 #T의 경우 간결한 output, #P는 더 많은 정보를 포함하는 output을 얻을 수 있습니다. 이는 자신이 원하는 정보에 따라 선택할 수 있습니다.

위의 Input File에서 B3LYP/6-31G(d)는 계산에 사용할 이론적 방법과 기저 계를 의미합니다. 자신이 원하는 이론적 방법과 기저 계를 이론적 방법/기저 계의 형식으로 표현합니다. 그리고 Geom의 경우 Connectivity로 설정되어 있는데, 이는 분자 구조에서 어떠한 원자들이 연결되어 있는가에 대한 정보를 받겠다를 의미합니다.

예시 Input File에는 포함되어 있지 않지만 다양한 옵션들이 존재하고, 원하는 계산을 진행할 수 있습니다. 이들은 Gaussian site^[각주:1]에서 확인이 가능합니다.

- Job Title Section

이 구역은 자신이 진행할 계산에 대한 간략한 설명을 적는 부분으로 필수적인 부분은 아닙니다. 하지만, 계산 연구를 진행하면 다양한 계산을 하기 때문에 계산 결과에 무엇에 대한 계산인지 적는 것이 도움이 될 때가 있습니다.

- Molecule Specification Section

Molecule Specification Section은 Charge and Spin Multiplicity와 Molecular Structure를 모두 포함하는 구역입니다. 먼저, Charge and Spin Multiplicity의 경우 "0 1"과 같이 표현되는데 이는 분자의 전하가 0이고 Spin Multiplicity가 1이라는 것을 의미합니다. 예를 들어, 특정 분자의 음이온(Anion)과 양이온(Cation)에 대해 계산을 진행하고 싶으면 "-1 2"와 "1 2"와 같은 식으로 알맞은 값을 적어줍니다. 그리고 Molecular Structure의 경우 GaussView나 WebMO를 통해 분자 구조를 그리면 Input file에 알맞는 정보를 적어줍니다. GaussView의 경우 분자 구조를 저장하는 과정에서 Charge and Spin Multiplicity를 비롯해서 Route Section 정보까지 수정할 수 있습니다.

- Additional Input Sections

위의 Input file에서 Additional Input에 해당하는 것은 atom connectivity information입니다. 이는 geom=connectivity라는 명령어를 통해 원자의 결합 상태를 받겠다는 것을 명시했기 때문에 필요한 정보입니다. Connectivity 같은 경우 GaussView에서 옵션을 통해 같이 기록하거나 기록하지 않거나를 정할 수 있습니다.

그리고 예시 Input File에 존재하는 blank line은 Gaussian Input File의 문법이므로 꼭 넣어야 합니다. Blank 또는 문법이 틀린 경우 Input File을 바탕으로 계산이 시작되지 않으니 주의해야 합니다.

이 포스팅은 Exploring Chemistry with Electronic Structure Methods, Third Edition를 기반으로 합니다.

gaussian.com/ [본문으로]

[Gaussian] Introduction to Gaussian #2

Jun_Hyeong — Sun, 22 Nov 2020 19:10:48 +0900

#Chemical Representation Progression

계산 연구에 사용할 이론적 방법과 기저 계를 선택하는 것은 항상 "원하는 정확도와 사용가능한 계산 자원 사이의 효과적인 절충"을 찾는 것이 중요합니다. 정확도가 높은 방법들은 많은 계산 자원을 요구해서 너무 큰 분자 시스템을 연구하기 힘듭니다. 이러한 점을 착안해서 1990년 후반부터 Morokuma와 동료들은 서로 다른 수준의 정확도로 다룰 수 있는 큰 분자들을 계산 층(Computing Layer)로 분리하는 접근법을 개발했는데, 이는 ONIOM(Our own N-layered Integrated molecular Orbital and molecular Mechanics)입니다.

ONIOM 계산에서 분자 시스템을 2~3개의 층(Layer)로 나눕니다. 먼저, High layer의 경우 가장 정확한 화학 모델을 사용하는 층입니다. 이 구역에서 결합 생성이나 파괴를 비롯한 중요하게 생각하는 사건들이 일어납니다. Low layer의 경우 분자 시스템에서 가장 큰 구역으로 일반적으로 저렴한 화학 모델(MM,반경험적 방법)을 이용해서 다룹니다. 이 구역은 High layer에 미치는 환경적 영향을 고려해주는 층으로 생각할 수 있습니다. 마지막으로 Middle Layer의 경우 High layer와 Low layer 사이의 정확도를 기대하는 층입니다.

예를 들어, High layer는 DFT와 large basis set으로 계산하며 Middle layer는 반경험적 방법, Low layer는 MM(Molecular Mechanics)로 다룰 수 있습니다. 가우시안에서 ONIOM을 지정할 수 있으며, 큰 분자를 계산할 때 고려해볼 수 있는 방법이라는 것을 알아두면 될 것 같습니다.

#Calculation Series Progression

계산 연구를 위한 기본적인 화학 모델을 결정했으면 계산 순서를 정해야합니다. 일반적으로 계산을 통해서 반응 매커니즘을 추정하거나 분자의 특성을 알아내려고 합니다. 분자의 특성은 매우 작은 분자 구조의 차이에 의해서 변하기 때문에, 분자를 평형 구조에 위치하게 하는 것이 매우 중요합니다. 따라서, 일반적으로 관련 분자의 기하학적 구조를 최적화하는 것 부터 계산을 시작합니다.

구조 최적화는 시작점으로 주어진 구조 근처의 핵(Nuclei)에 가해지는 힘이 본질적으로 0인 PES(Potential Energy Surface)에 점을 위치시키는 과정입니다. 이 지점은 평형 구조(minima) 또는 전이 구조(saddle point)일 가능성이 있습니다. 즉, 평형 구조와 전이 구조를 구분하기 위해서 진동수(Frequency) 계산을 진행합니다. 이때, Imaginary Frequency가 발견되면 전이 구조라는 것을 의미하며 반대의 경우 평형 구조라는 것을 의미합니다.

구조 최적화를 진행하고 다음 단계는 자신이 연구하고자하는 목표에 따라 달라집니다. 반응을 연구하고 있다면 반응물과 생성물을 최적화한 후 이들을 연결하는 전이 상태 구조를 찾을 것입니다. 대조적으로 분자의 분광 특성을 연구하고 있는 경우는 분자의 스펙트럼을 예측한 후 사용가능한 모든 실험 데이터와 비교하는 것입니다. 즉, 자신이 원하는 계산을 시작하는 것 입니다.

#Environmental Modeling Progression

지금까지 화학 반응 혹은 분자의 특성에 초점을 맞추고 화학 환경은 고려하지 않았습니다. 화학 환경을 고려하기 위해서 크게 3가지를 고려해볼 것 입니다.

- Chemistry in Solution

먼저, Solution Environment가 분자의 화학적 특성 및 반응에 큰 영향을 미친다는 것은 잘 알려져있습니다. 분자 구조 또한 기체 단계에서 용액, 그리고 다른 성질을 가진 용매 사이에서 크게 변할 수 있습니다. 비슷하게, 화학 반응의 특성은 용매의 존재/부재 및 특정 용매 환경에 따라서 다른 생성물이 선호될 수 있으며 반응 장벽(Reaction Barrier)가 증가/감소 될 수 있습니다.

전 포스팅에서 언급했듯이 Gaussian은 용질을 용매 내 비어있는 Cavity 안에 넣어 용매 자체를 연속적이고 균일한 유전체 매체로 취급하는 SCRF(Self-Consistent Reaction Field) 모델을 제공합니다. 이 모델들은 용질과 용매 사이의 상호작용과 이들의 상호 양극화(Polariztion)을 고려해줍니다.

-Excited State

들뜬 상태는 높은 에너지를 가진 분자 시스템의 Electron Configuration입니다. 예를 들어, 들뜬 상태는 샘플이 UV/Visible 분광도계의 광원에 노출되었을 때 생성됩니다. 즉, 들뜬 상태는 광화학 및 전자 분광학 등 화학의 많은 분야과 관련이 있습니다.

들뜬 상태의 시스템을 모델링하기 위해서 특별한 기술이 필요한데, Gaussian은 다음과 같은 방법들을 제공합니다.

Method	Description
Time-Dependent DFT(TD)	여기 상태 모델링을 위한 DTF의 시간 의존적 공식화. 정확도가 높고 계산 비용이 합리적이기 때문에 중-대형 분자의 여기 에너지를 예측하는 표준방법으로 사용된다.
Equation of Motion Coupled Cluster (EOMCCSD)	여기 상태를 모델링하기 위한 CCSD의 확장. 여기 상태 계산을 위해 CCSD-level의 높은 정확도를 제공하며 상당한 계산 비용을 필요로 한다.
Complete Active Space Multiconfiuration SCF (CASSCF)	기본적으로 전자 구조 계산은 분자 시스템을 모델링할 때 단일 전자 배열을 사용한다. 대조적으로, multi-configuration 접근법은 electronic wavefunction을 다중 전자 배열의 선형 결합으로 설명한다. 이러한 접근방식은 특정 유형의 바닥상태를 정확하게 모델링하는데 필요하다. 분자의 완전한 MCSCF 처리에서, 다양한 전자 배열의 계수 집합과 MO 모두 최저 에너지의 electronic wavefunction을 얻기 위해서 바뀝니다. CASSCF 방법은 다중 전자 배열을 활성 공간(active space)라고 알려진 오비탈의 하위 집합 내 모든 구성으로 제한하여 복잡성과 수반되는 계산 요건을 감소시킨다. 여기 에너지 예측은 물론 여기 상태에서 바닥 상태로의 전환과 관련된 반응을 모형화하는 데 사용할 수 있다. 실제로 CASSCF 계산은 12~16개의 전자로 제한된다.

- Polymer, Surfaces and Crystals

1차원과 2차원, 3차원에서 반복 단위를 가지는 주기적인 시스템도 전자구조법으로 처리할 수 있습니다, 이러한 물질은 유한한 숫자의 기본 단위로 모델링할 수 있는데, Gaussian은 PBC(Periodic Boundary Condition)으로 알려진 기술을 주기적 시스템을 다루기위해 제공합니다.

이 포스팅은 Exploring Chemistry with Electronic Structure Methods, Third Edition를 기반으로 합니다.