[Physical Chemistry] 1차원 파동 방정식 (1D Wave Equation)

 

# 1D Wave Equation

 

일반적인 파동은 Equation (1)과 같이 표현됩니다. 이때, 위치 x 및 시간 t에서의 진동의 진폭이 u(x, t)입니다.

 

(1)

이 Equation의 Motion은 다음과 같이 표현될 것입니다.

 

(2)

일반적인 파동의 운동 방정식을 풀기 위해 "변수 분리"를 이용해봅시다. u(x, t)에서 x와 t는 서로 독립변수이기 때문에 아래의 Equation (3)처럼 표현될 수 있는 것입니다.

 

(3)

Equation (3)를 Equation (2)에 대입을 하게 되면,

 

(4)

(5)

Equation (5)를 통해서 X(x)와 T(t)에 대한 식으로 정리^[각주:1]하면 Equation (6)과 Equation (7)을 얻을 수 있습니다.

 

(6)

(7)

Equation (5)에 접근하기 위해서 우리는 3가지 가능성을 고려해봅시다. K가 양수이거나 혹은 홀수, 또는 0 일 때를 나눠볼 것입니다.

 

1. K=0

 

K가 0이라면 Equation (5)는 Equation (8)처럼 표현될 수 있습니다^[각주:2].

 

(8)

그러므로 X(x)와 T(t)는

(9)

(10)

정상파(Standing Wave)의 경계조건(Boundary Condition)은 u(0,t)=u(l,t)=0^[각주:3]을 Equation (9)와 (10)에 대입하면,

 

(11)

라는 물리적인 의미가 없는 trivial solution^[각주:4]이 나오게 됩니다.

 

2. K>0

 

그렇다면 K가 양수일 때는 어떨까요? K가 양수이기 때문에 

라고 두고 시작합니다.

 

그렇다면 Equation (6)은

 

(12)

이 됩니다.

 

Equation (12)를 풀기 위해서 X(x)가

(13)

와 같은 형태를 가지고 있다고 추측해봅시다. 

 

Equation (13)을 Equation (12)에 대입하게 되면,

(14)

즉,

이라는 결과가 나오게 되고, X(x)는

(15)

라는 것을 알 수 있습니다.

 

X(x)의 경계조건은

(16)

으로 Equation (15)를 통해서

(17)

(18)

을 얻을 수 있습니다. 

이기 때문에^[각주:5]

K=0과 마찬가지로 trivial solution이 결과로 나오게 됩니다.

 

3. K<0

 

K>0일 때처럼 K가 음수이므로

라고 두고 시작합니다.

(19)

Equation (19)를 풀기 위해서

(20)

와 같은 형태를 가지고 있다고 추측해봅시다. 

 

Equation (20)을 Equation (19)에 대입하게 되면,

(21)

즉,

이라는 결과가 나오게 되고, X(x)는

(22)

(23)

라는 것을 알 수 있습니다.

 

X(x)의 경계조건은

(24)

으로 Equation (23)을 통해서

(25)

(26)

을 얻을 수 있습니다^[각주:6]. Equation (26)을 만족시키기 위해서^[각주:7]

 

이므로

(27)

비슷하게 T(t)는

(28)

처럼 구해질 수 있습니다. 그러나, 시간 영역(Time domain)에는 경계 조건이 없으므로 cos과 sin항이 모두 0이 아닌 기여를 가지게 될 것입니다. 그리고 파동 방정식이 선형 미분 방정식이기 때문에, 일반적인 solution은 각 solution의 선형 조합으로 구해질 수 있다는 사실을 기반으로 u(x, t)는 Equation (29)와 같이 표현될 수 있습니다.

(29)

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1. X(x)와 T(t)에 관련된 항을 K에 대해서 정리 [본문으로]
2. 양변에 X(x)T(t)를 곱해준다 [본문으로]
3. 정상파는 시작과 끝에서의 진폭은 0 [본문으로]
4. x와 관계없이 항상 옳은 식 [본문으로]
5. K=0이기 때문에 k≠0 [본문으로]
6. Equation (25)와 (26)은 Equation (23)에 X(0)=0과 X(l)=0을 대입한 결과 [본문으로]
7. sin(kl)=0이 되기 위한 조건 [본문으로]