[Physical Chemistry] 플랑크의 양자 가설 (Planck's Quantum Hypothesis)

 

이전 포스팅에서 우리는 고전역학으로는 흑체복사를 설명하지 못한다는 사실을 알아보았습니다. 이번 포스팅에는 흑체복사에 관한 내용들을 수식적으로 접근해봅시다.

 

# Classical Theory Approach

 

주어진 온도 T에서 흑체복사의 세기를 파장 λ의 함수로 표현하면 다음과 같습니다.

 

 

Equation (1)

Maxwell's Equation을 통해서 density of light를 구할 수 있습니다.

 

Equation (2)

Maxwell-Boltzman 분포에 따르면 온도 T에서 에너지 ε을 가지고 있는 분자의 확률은 다음과 같습니다.

 

Equation (3)

Equation (3)를 이용해서 averaged energy를 구해보면

 

Equation (4)

이므로 Equation (1)에 Equation (2)와 (4)를 대입해서 Intensity를 구하면 이전 포스팅에서 언급했던 레일리-진스 법칙을 유도할 수 있습니다.

 

Equation (5)

# Quantum Hypothesis

 

막스 플랑크(Max Planck)의 양자 가설의 의미는 빛의 에너지는 정량화(Quanize)되어 있다는 것입니다. 즉, 고전역학과는 다르게 빛의 에너지가 연속적이지 않다는 것을 의미하죠.  

 

Equation (6)

Equation (6)를 이용해서 averaged energy를 계산해보면

 

Equation (7)

즉, 흑체복사의 세기는

Equation (8)

Planck distribution law for blackbody radiation인 Equation (8)처럼 표현됩니다.

 

Equation (9)

만약, 파장이 매우 길어지는 경우에 Equation (8)은 Equation (9)처럼 표현이 가능하고 그 결과 레일리-진스 법칙과 동일한 결과를 내는 것을 확인할 수 있습니다.

 

# Einstein's Photoelectric Effect

 

플랑크의 양자 가설을 통해서 우리는 광전효과의 결과도 설명할 수 있습니다. 광전효과를 방출된 전자의 에너지와 빛의 주파수를 이용해 plotting을 진행하면 기울기가 h이고 y절편이 Φ인 직선을 확인할 수 있습니다.

 

Equation (10)

Equation (6)에 따르면 빛의 에너지는 nhv (단, n=1,2,3,...)로 표현이 가능합니다. Equation (6)과 Equation (10)을 통해서 우리는 한 가지 추측을 할 수 있습니다. 빛은 광자(photon)이라는 입자(particle)로 구성이 되어 있다고 간주할 수 있다는 것입니다. 즉, 큰 n을 가진다는 것은 빛의 세기가 크다는 것을 의미하고 작은 n을 가진다는 것은 빛의 세기가 약하다는 것을 의미합니다. 그러므로 빛의 세기를 아무리 크게 한다고 해도 방출되는 전자의 에너지는 변하지 않고 방출되는 전자의 양이 많아지는 것입니다.

 

Maxwell's Equation을 통해 전자기파로 간주되던 빛이 마치 입자처럼 행동할 수 있다는 것을 "광전효과"를 통해 알 수 있는 것입니다. 여기서 우리는 빛의 파동-입자 이중성(wave-particle duality)을  보여준다고 표현합니다.

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