[Physical Chemistry] 슈뢰딩거 방정식 (The Schrödinger Equation)

 

고전적인 운동은 뉴턴의 운동 제2법칙이 적용된다는 것을 모두 알고 계실 것입니다. 하지만 드 브로이에 의해 제안된 것처럼 물질은 파동같이 행동하기도 합니다. 그러므로 입자의 물질파의 운동 방정식(Equation of Motion)이 존재할 것입니다. 

 

# The Schrödinger Equation

 

먼저, 전파되는 물질파 ψ(x,t)를 Equation (1)의 꼴로 시작해봅시다.

 

Equation (1)

플랑크의 양자 가설 ^[각주:1]과 드 브로이 물질파^[각주:2]를 Equation (1) 적용시키면 Equation (2)를 유도할 수 있습니다.

 

Equation (2)

이 파동함수(Wavefunction)에는 입자의 에너지(E)와 모멘텀(p)의 정보를 모두 가지고 있는것을 확인할 수 있습니다. 이러한 파동 함수를 State wavefunction이라고 지칭합니다. 이러한 State-wavefunction에서 우리는 적절한 연산자(Operator)를 이용해서 모멘텀의 정보나 에너지의 정보를 얻을 수 있습니다.  예를들어 Equation (3)와 같은 연산자를 정의해봅시다.

 

Equation (3)

Equation (3)를 Equation (2)에 적용시키면 Equation (4)처럼 state-wavefunction의 모멘텀을 얻을 수 있다는 것입니다.

 

Equation (4)

비슷한 방법으로 입자의 에너지는 다음과 같이 구해집니다.

 

Equation (5)

# Time-independent Schrödinger Equation

 

먼저, State wavefunction ψ(x, t)에 대한 특정한 연산자 A를 정의해봅시다.

 

Equation (6)

이때, ψ(x, t)는 연산자 A의 고유 함수(eigenfunction)라고 부르고 a는 연산자 A의 고윳값(eigenfunction)이라고 부르기도 합니다. 그래서 Equation (6)와 같은 형태를 고윳값 문제(eigenvalue problem)라고도 부릅니다. 다시 돌아와서, 우리는 Time-independent Schrödinger Equation에서 입자의 에너지를 얻을 수 있는 연산자를 정의해볼 것입니다. 

 

입자의 에너지는 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로 계산되므로,

 

Equation (7)

이에 대응하는 연산자, Hamiltonian, 는 Equation (9)처럼 정의할 수 있습니다.

 

Equation (9)

그러므로, Time-independent Schrödinger Equation에 적용시키면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

Equation (10)

Equation (11)

# Time-dependent Schrödinger Equation

 

Equation (5)와 Equation (10)을 결합하면 Equation (12)를 얻을 수 있는데,

 

Equation (12)

이것이 흔히 우리가 슈뢰딩거 방정식이라고 부르는 식 입니다. 하지만 양자역학에서 우리는 주로 어떤 계를 표현하기 위해 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 풀 것이기 때문에 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식에 집중을 할 것입니다.

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1. E=hν [본문으로]
2. λ=h/p [본문으로]