[Physical Chemistry] 1차원 상자 속 입자 (Particle in a 1D-Box)

 

이전 포스팅에서 알아보았던 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 1차원 상자에 있는 입자에 적용시켜봅시다.

 

# Particle in a 1D-Box

 

Fig 1. 1D-Box

Figure 1에 묘사되어 있는 1차원 상자의 포텐셜은 Figure 2처럼 주어집니다. 0과 L사이를 제외한 모든 구역은 포텐셜이 무한이기 때문에 무한 포텐셜 우물이라고도 불립니다.

 

Fig 2. Potential of 1D-Box

먼저, 슈뢰딩거 방정식을 가져와봅시다.

 

Equation (1)

Equation (1)은 고윳값 문제로, 간단한 2계 미분 방정식으로 이를 만족하는 ψ(x)는

 

Equation (2)

Figure 2를 통해서 우리는 경계 조건 2가지를 얻을 수 있습니다.

 

Equation (3)

ψ(0)과 ψ(L)을 Equation (2)를 이용해서 구해보면,

 

이므로 

을 만족시켜야 하는 것을 알 수 있습니다. Equation (2)에서 k와 E 관계에 kL=nπ를 넣어주면

 

Equation (4)

이고 E_n에 해당하는 파동 함수는,

Equation (5)

입니다. 여기서 주목해야 할 점은 Equation (4)를 통해서 수소 원자의 에너지처럼 Particle in a 1D-Box의 에너지도 양자화되어 있다는 것입니다. 이 과정에서 등장하는 양자수(Quantum number) n은 고전적인 정상파처럼 자연적으로 경계 조건에 의해서 등장하게 됩니다. 그러나 Equation (5)에 표현된 파동 함수의 의미는 직관적으로 이해하기 쉽지 않습니다.

 

#Probabilistic Interpretation on the Wavefunction

 

파동 함수 ψ 그 자체는 물리적인 의미를 가지지 않습니다. 그러나 막스 보른(Max Born)에 의해 파동 함수 ψ의 절댓값의 제곱은 확률 밀도 함수라는 해석이 시작되었고, 지금까지 일반적으로 받아들여지고 있습니다. 즉, 특정한 위치와 시간에 있을 때 파동 함수 ψ의 절댓값의 제곱은 특정한 위치와 시간에서 그 입자를 발견할 확률을 나타낸다는 것입니다.

 

그렇기 때문에  특정 구간에서 입자를 발견할 수 있는 확률은

 

Equation (6)

이고 모든 공간에서의 확률을 합치면 1이 되어야 되기 때문에 Equation (7)을 만족해야 합니다. 이를 파동 함수를 정규화(Normalization)시키는 과정이라고 표현합니다.

 

Equation (7)

# Cont. Particle in a 1D-Box

 

위에서 살펴본 정규화 작업을 Equation (5)에 적용시키면,

 

Equation (8)

B의 값을 구할 수 있고, 이를 Equation (5)에 대입하면 파동 함수를 구할 수 있습니다.

 

Equation (9)

그러므로 Equation (4)와 Equation (9)를 통해서 n에 따라 변화하는 파동 함수와 확률 밀도, 그리고 에너지 값을 구할 수 있습니다.

Fig 3. Energy Levels and Wavefunctions

# Uncertainty Principle of a particlein a 1D-Box

 

베르너 하이젠베르크(Werner Karl Heisenberg)의 불확실성의 원리(Uncertainty Principle)에 따르면 입자의 위치 x와 운동량 p는 일정 수준의 정확도 이상으로는 동시에 측정되지 못합니다. 불확실성의 원리에 대해서는 다음에 자세하게 다루기로 하고, 먼저 식을 가져와보겠습니다. 이는 Equation (10)처럼 표현되는데, 이때 σ_x는 위치의 표준편차를 의미하고 σ_p는 운동량의 표준편차를 의미합니다. 

 

Equation (10)

1차원 상자 속 입자의 분석으로 얻어진 파동 함수를 통해서 불확실성의 원리를 만족하는지 계산해봅시다. 먼저, 물리량의 평균값(또는 기대 값)은 다음과 같이 계산됩니다.

 

Equation (11)

Equation (11)은 연산자 A를 이용해서 표현될 수 있습니다^[각주:1].

 

Equation (12)

- Standard deviation of x

 

먼저, 위치 x의 표준편차를 구해봅시다. 표준편차는 다음과 같이 구해집니다.

 

Equation (13)

그러므로 x의 평균 값을 구해보면,

 

Equation (14)

동일한 방법으로 x^2의 평균값을 구하면,

 

Equation (15)

Equation (14)와 (15)를 이용해서 표준편차를 구하면,

 

Equation (16)

- Standard deviation of p

 

운동량 p의 표준편차를 구하기 위해서 Equation (12)과 이전 포스팅에서 알아보았던 연산자^[각주:2]를 이용해봅시다. 

 

그러므로 p의 평균값은,

 

Equation (17)

동일한 방법으로 p^2의 평균값을 구하면,

 

Equation (18)

Equation (17)과 (18)을 이용해서 표준편차를 구하면,

 

Equation (19)

 

위치 x의 표준편차와 운동량 p의 표준편차를 모두 구해봤습니다. Equation (16)과 Equation (19)를 곱해주면, 

 

Equation (20)

불확실성의 원리를 만족하는 것을 확인할 수 있습니다 ^[각주:3]. 이제 Equation (20)의 의미를 이해해봅시다.

 

Equation (16)과 Equation (19)는 위치와 운동량이 평균값에서부터 얼마나 산포 되어 있는지를 나타냅니다. 즉, 1차원 상자 속의 입자의 위치와 운동량의 불확실성의 척도로 해석할 수 있습니다. 상자의 크기가 커질수록 ^[각주:4] 위치 x의 표준편차는 선형적으로 증가하지만 운동량 p의 표준편차는 반비례하여 감소하는 것을 식을 식을 통해 알 수 있습니다. 

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1. Aψ(x)=aψ(x) [본문으로]
2. https://d2illy.tistory.com/27, Equation (3) [본문으로]
3. 제곱근 항이 1보다 작지 않기 때문에 [본문으로]
4. L이 커질수록 [본문으로]