[Physical Chemistry] 3차원 상자 속 입자 (Particle in a 3D-Box)

 

이전 포스팅에서 알아보았던 1차원 상자 속 입자(Particle in a 1D Box)를 3차원으로 확장시켜봅시다. 먼저 선형 연산자의 유용한 성질을 알아봅시다.

 

# Useful property of the linear operator

 

선형 연산자의 성질을 알아보기 위해 선형 연산자와 그들의 고윳값 문제의 집합을 정의해봅시다. 이때, 선형 연산자들은 서로 독립적입니다.

. 

Equation (1)

이러한 선형 연산자의 합으로 정의되는 새로운 선형 연산자의 고유 함수와 교윳값은 각 선형 연산자의 고윳값과 고유 함수의 합으로 표현됩니다. 이를 수식으로 표현하면,

 

 

Equation (2)

이러한 결과가 나오는 이유는

 

Equation (3)

이므로

 

Equation (4)

이러한 성질을 운동량 연산자에 적용시켜보면 Equation (5)를 얻을 수 있습니다. 이때, ∇(nabla)는 델 연산자입니다.

 

Equation (5)

각 운동량 연산자의 고유 함수를 다음과 같이 정의해봅시다.

 

Equation (6)

Equation (7)을 만족하는 고유 함수는 다음과 같다는 것을 알 수 있습니다.

 

Equation (7)

그러므로, Equation (2)를 통해 3차원 운동량 연산자는 x, y, z방향에 대한 고유 함수의 곱으로 표현될 수 있습니다.

 

Equation (8)

# Particle in a 3D-Box

 

3차원 상자에서 해밀토니안 연산자^[각주:1]는 다음과 같이 정의될 수 있습니다.

 

Equation (9)

Equation (10)

Equation (9)의 각 항은 서로 독립적이기 때문에 Equation (2)를 이용해서 Equation (10)을 만족시키는 고유 함수를 찾으면, 

 

Equationn (11)

이고 에너지는,

 

Equation (12)

이때, n은 정수입니다.

 

3차원 상자 속 입자의 문제에서 우리는 x, y, z 축에 해당하는 3개의 양자수가 등장하는 것을 확인할 수 있습니다. 반면에 1차원 상자의 경우 1개의 양자수가, 2차원 상자의 경우 2개의 양자수가 도출됩니다. 즉, 양자수의 개수는 차원(dimensionality)과 직접적으로 연관이 있다는 사실을 얻을 수 있습니다.

 

특히, 어떠한 시스템이 방향성을 따라 대칭을 가질 때 서로 같은 에너지를 갖는 여러 상태를 확인할 수 있는데, 이를 우리는 축퇴(degeneracy)^[각주:2]라고 부릅니다. 예를 들어서 각 변의 길이가 동일한 3차원 상자의 에너지는 Equation (12)를 통해

 

Equation (13)

로 계산 될 수 있습니다. 이때, 같은 에너지를 같은 여러 상태를 확인할 수 있습니다. 즉, 축퇴(degeneracy)가 일어납니다.

 

Equation (14)

이러한 현상이 일어나는 이유는 시스템의 포텐셜이 x, y, z 방향으로 대칭이기 때문에 발생합니다. 만약, 대칭이 깨진 시스템, 즉 각 변의 길이가 서로 다른 3차원 상자의 경우에는 Equation (14)에서 각 항의 에너지가 달라집니다.

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1. https://d2illy.tistory.com/28 [본문으로]
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Degenerate_energy_levels [본문으로]