[Physical Chemistry] 양자역학의 일반 원칙과 공준 #2 (Some Postulates and General Principles of Quantum Mechanics #2)

 

#Postulate 4

 

시스템이 임의의 상태 Ψ일 때, 연산자 Â의 측정 가능한 평균값(Average value)은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

Equation (1)

예를 들어 ψ_n이 Â의 고유 함수인 Ψ=ψ_n에 대해서 연산자 Â의 평균값을 구해보면,

 

Equation (2)

그리고 ²의 평균값을 구해보면,

 

Equation (3)

그러므로 측정의 분산은 

 

Equation (4)

ψ_n이 Â의 고유함수인 Ψ=Σ_nc_nψ_n에 대해서 연산자 Â의 평균값을 구해보면,

 

Equation (5)

그리고 Â²의 평균값을 구해보면,

Equation (6)

마찬가지로 측정의 분산은,

 

Equation (7)

#Postulate 5

 

파동 또는 상태 함수의 운동 방정식은 시간 의존 슈뢰딩거 방정식으로 표현됩니다.

 

Equation (8)

여기서, Ψ(x,t)는 Ĥ의 고유 함수가 될 필요가 없으며 이를 통해서 헤밀토니안은 시간 의존성을 가질 수 있다는 것이 중요합니다.

 

Ĥ 이 시간에 따라서 변하지 않는다면 Equation (8)을 풀기 위해서 우리는 변수 분리법을 사용해야 합니다.

 

Equation (9)

공간 부분(spaitial part)과 시간 부분(time part)을 이용해서 다음과 같은 2개의 식을 얻을 수 있습니다.

 

Equation (10)

Equation (11)

Equation (10)은 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식임을 알 수 있고, Equation (11)은 적분을 통해 f(t)에 대한 정보를 얻을 수 있습니다.

 

Equation (12)

즉, Ψ(x,t)는 다음과 같이 표현될 수 있습니다^[각주:1].

 

Equation (13)

시간 의존 부분은 파동 함수의 위상을 변화시키지만 확률에 영향을 미치지 않기 때문에 phase factor라고 불립니다. Equation (14)에서 phase factor가 사라지는 것을 확인할 수 있습니다. 그러므로 고유 함수는 stationary-state wave function라고 불립니다.

 

Equation (14)

그러므로 임의의 상태는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

 

Equation (15)

Equation (15)를 Equation (8)에 대입함으로써 Ψ(x,t)가 시간 의존 슈뢰딩거 방정식의 해라는 것을 확인할 수 있습니다.

 

#Commutation Relation

 

교환자(Commutator)란 두 원소 사이의 교환 법칙 실패를 측정하는 이항 연산입니다. 즉, 두 개의 연산자의 자리가 바뀌여도 같은 결과를 내는가를 확인한다고 생각하시면 될 것 같습니다.

 

두 개의 연산자의 교환자(Commutator)는 다음과 같이 정의됩니다.

 

Equation (16)

중요한 것은 교환자(commutator) 그 자체도 연산자라는 것입니다. 어떤 함수 f(x)를 Equation (16)에 표현된 교환자(commutator)로 연산하면, 

 

Equation (17)

Equation (17)의 결과에 따라서 두 개의 연산자가 교환가능(commutative)한지 교환 불가능(noncommutative)이 결정됩니다. 만약 결과가 0이라면 두 연산자는 교환 가능(commutative)하다고 표현합니다.

 

Equation (18)

반대로 결과가 0이 아니라면 두 연산자는 교환 불가능(noncommutative)하다고 표현합니다.

 

Equation (19)

예를 들어 운동에너지(kinetic energy)와 운동량(momentum) 연산자의 경우

 

Equation (20)

Equation (21)

Equation (20)과 Equation (21)의 결과가 같기 때문에 두 개의 연산자는 교환 가능(commute)하다는 것을 알 수 있습니다.

 

그러나 운동량(momentum)과 위치(position) 연산자의 경우에는,

 

Equation (22)

Equation (23)

Equation (22)와 Equation (23)의 결과가 다르기 때문에 두 개의 연산자는 교환불가능(noncommute)하다는 것을 알 수 있습니다. 

 

Equation (24)

#Generalized uncertainty principle

 

일반화된 불확정성의 원리는 다음과 같이 표현됩니다.

 

Equation (25)

만약 두 개의 연산자가 교환 가능(commute)하다면, Equation (25)의 우측 항은 0이 될 것입니다. 즉, σ_a와 σ_b 사이의 관계가 없다는 것 입니다.

 

하지만, 두 개의 연산자가 교환불가능(noncommute)하다면 우측 항이 0이 아니므로 두 개의 연산자는 역관계(reciprocal relation)를 가지고 있다는 것입니다. 즉, a와 b는 임의의 정밀도로 동시에 측정할 수 없다는 것입니다.

 

Equation (25)에서 표준편차는 측정의 통계적 불확실성과 연관되어 있다는 것이 중요합니다.

 

위에서 우리는 운동량(momentum)과 위치(position) 연산자는 교환 불가능(noncommutative)하다는 것을 알아보았습니다. 즉, Equation (25)를 통해서 운동량과 위치는 동시에 측정되지 못한다는 것입니다.

 

#Mutual set of eigenfunctions

 

두 개의 교환 가능한 연산자에 대해서, 이들은 같은 고유 함수의 집합을 가지고 이들의 교윳값은 임의의 정밀도로 동시에 측정될 수 있습니다.

 

다음과 같은 두 개의 고윳값 문제를 정의하면,

 

Equation (26)

두 연산자가 교환 가능(commute)하다는 사실을 통해서,

 

Equation (27)

그러므로,

 

Equation (28)

Equation (28)을 통해서 φ_a는 두 개의 연산자의 고유 함수라는 것을 알 수 있습니다. 만약 축퇴(degeneracy)가 없다면 φ_a와 (constant)는 φ_b와 고윳값 b과 같아야 합니다.

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1. E=hυ=ℏω  [본문으로]