[Physical Chemistry] 보어-드 브로이 모델 (Bohr-de Broglie's Model)

 

[Physical Chemistry] Puzzling Experiment^[각주:1]에서 잠시 언급되었던 수소 원자의 Rydberg Formula를 다시 살펴봅시다.

 

Equation (1)

Rydberg Formula에서 등장하는 정수 값(n)에 대해서 생각하던 de Broglie는 정상파(Standing Wave)를 묘사하는 정수 값과 같다는 것을 찾을 수 있었습니다. 즉, 양성자(proton) 주위를 전자가 원형 운동을 고려하면 아래의 그림과 같은 정상파가 정의될 수 있다는 것입니다. 

 

Figure 1. Matter wave of an electron in H atom

# Quantized Angular Momentum

 

Figure 1에 따라 우리는 경계조건을 얻을 수 있습니다. 즉, 오직 Equation (2)를 만족시키는 파장 λ만이 허용된다는 것 입니다. 

 

Equation (2)

Equation (2)에 드 브로이의 물질파 이론을 적용시키면 Equation (3)를 얻을 수 있습니다. 

 

Equation (3)

Equation (3)에서 얻은 모멘텀을 이용해서 Angular Momentum을 구해주면 Equation (4)처럼 표현됩니다.

 

Equation (4)

고전역학적으로 원형 운동을 하는 전자는 가속도를 가지기 때문에 빛을 방출하여 에너지를 잃게되고, 그 결과 양성자에 충돌하는 결과를 내게 됩니다. 하지만 특정한 Angular Momentum을 만족시키게 되면 안정한 원형 운동을 할 수 있다고 생각했습니다.

 

# Energy of H Atom

 

보어 모형에서 전자는 핵을 중심으로 원형운동을 하기 때문에 쿨롱 힘(Coulomb force)과 구심력(centripetal force)은 동일해야 한다는 사실을 알 수 있습니다. 즉, 

Equation (5)

Equation (5)에서 전자의 원형운동 반지름에 대한 정보를 얻을 수 있습니다. Eqution (4)와 Equation(5)를 통해^[각주:2]서

 

Equation (6)

반지름 r의 조건을 유도할 수 있습니다. 전체 에너지는 운동 에너지^[각주:3]와 위치 에너지의 합이므로,

 

Equation (7)

Equation (7)을 얻을 수 있고, Equation (6)을 대입하면

 

Equation (8)

수소 원자의 양자화된 에너지를 구할 수 있습니다. Equation (8)을 이용해서 수소 방출 스펙트럼을 분석해보면,

 

Equation (9)

파수(wave number, 1/λ)^[각주:4]에 대해 정리하면,

 

Equation (10)

Rydberg Formula와 동일한 식이 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

---

 

1. https://d2illy.tistory.com/23 [본문으로]
2. Equation (4)에서 mv에 대해 정리한 후 Equation (5)의 mv항에 대입 [본문으로]
3. Equation (5)를 이용해서 정리 가능 [본문으로]
4. ν=c/λ 이므로 wave number = ν/c [본문으로]