[Quantum Chemistry] 연산자 (Operator) - 1

# Operator

 

함수는 어떤 집합의 각 원소를 다른 집합의 유일한 원소에 대응시켜줍니다. 예를 들어, Equation (1)과 같은 꼴을 이차 함수라고 부르는 것과 같이 하나의 변수를 또 다른 변수로 이어줍니다.

 

Equation (1)

연산자도 함수와 비슷한 특성을 가지고 있습니다. 함수가 변수와 변수를 이어준다면 연산자는 함수를 또 다른 함수와 이어준다는 것입니다. 이전 포스팅 ^[각주:1]에서 알아본 슈뢰딩거 방정식을 보면, Equation (2)에서 파동 함수에 에너지 연산자를 사용했다고 볼 수 있습니다.

 

Equation (2)

먼저, 연산자들 덧셈과 뺄셈은 다음과 같이 정의됩니다.  

 

Equation (3)

Equation (4)

연산자들의 곱셈의 경우 다음과 같이 정의됩니다. 

 

Equation (5)

즉, 함수 f(x)에 연산자 B가 먼저 연산된 후에 연산자 A를 연산해야 한다는 것을 의미합니다. 연산자들은 항상 결합 법칙(associative law)이 성립합니다.

 

Equation (6)

그러나 연산자는 항상 교환 법칙(commutative law)이 성립하지 않습니다. 예를 들어, 연산자 d/dx와 연산자 x에 대해서 

 

Equation (7)

Equation (8)

Equation (6)과 Equation (7)의 결과가 다른 것을 확인할 수 있습니다. 이러한 연산자의 특징 때문에 교환자(commutator)를 정의합니다. 만약, 연산자 A와 연산자 B의 교환자가 0이면 교환 법칙이 성립한다는 것을 의미하고, 0이 아니라면 교환 법칙이 성립하지 않는다는 것을 의미합니다.

 

Equation (9)

Equation (7)과 Equation (8)을 통해 교환자를 계산하면, 

 

Equation (10)

연산자 d/dx와 x는 교환 법칙이 성립하지 않는 것(do not commute)을 확인할 수 있습니다. 비슷하게 연산자 3과 d/dx의 교환자의 경우,

 

Equation (11)

서로 교환 법칙이 성립함(commute)을 알 수 있습니다. 수많은 연산자들 중에 다음과 같은 조건을 만족하는 연산자를 선형 연산자(Linear Operator)라고 부릅니다.

 

Equation (12)

Equation (13)

예를 들어, 연산자 d/dx의 경우

 

Equation (14)

Equation (15)

Equation (14)와 Equation (15)가 성립하므로 선형 연산자임을 알 수 있습니다. 반면, 연산자 √의 경우

 

Equation (16)

Equation (12)를 만족시키지 않으므로 선형 연산자가 아니라는 것을 알 수 있습니다. 이러한 선형 연산자들은 다음과 같은 성질을 만족합니다. 

Equation (17)

Equation (18)

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1. https://d2illy.tistory.com/56 [본문으로]