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[Keywords] : 변분 방법(Variational Method), Secular Determinant, Secular Equation #Secular Determinant 이전 포스팅의 Equation (18)에서 fj는 고정되어 있고 {cj} 집합은 오직 변분 상수일 경우, 변분 방법의 결과인 선형 방정식의 집합을 Secular Determinant라고 불리는 행렬식으로 표현할 수 있습니다. 1차원 상자 속 입자 문제를 통해 쉽게 이해해봅시다. - Step 1 : Guess a proper wave function for the fixed part 먼저 Pre_Equation (18)의 고정된 fj에 해당하는 적절한 파동 함수를 추측해야 합니다. 그래서 (1) 주어진 시스템의 대칭을 고려해야 하며..

[Keywords] : 변분 원리(variational principle), 시행 함수(trial function), 슬레이어 오비탈(slater orbital) #Indroduction 이전 포스팅에서 알아보았던 수소 원자를 제외하고 정확하게 슈뢰딩거 방정식을 풀 수 있는 원자나 분자는 없습니다. 그래서 우리는 근사적으로 일반적인 시스템의 파동 함수와 에너지를 계산할 수 있는 대체방법을 알아야 합니다. 일반적으로 사용되는 방법은 변분 방법(variational method)와 섭동 이론(perturbation theory)이 있으며, 이번 주제에서 자세하게 알아볼 것입니다. #Variational Method 임의의 시스템의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있습니다. 이때, 우리는 Equati..

이번 포스팅의 주제는 수소 원자의 3개의 양자수(quantum number)입니다. #Radial Part 이전 포스팅의 Equation (6) 와 β는 ℏ2의 단위로 l(l+1)의 값을 가지고 있다는 것을 바탕으로, - Principle quantum number Equation (2)를 통해 에너지는 양의 정수 n에 의해 양자화되어 있다는 것을 알 수 있습니다. 이는 Coulomb attraction에 의해 방사 방향(radial direction)이 제한되기 때문입니다. 그러나 Equation (1)의 구성요소 중에 l이 존재하지만, 에너지는 오직 n의 값에 의존한다는 것을 알아야 합니다. 즉, 포텐셜의 등방성(isotropic)때문에 에너지가 각도 부분의 θ와 φ을 따라서 축퇴(degenaracy..

#The angular momentum operators 구면 좌표계에서 각운동량 연산자(angular momentum operators)는 다음과 같습니다. Equation (1)과 Equation (2), Equation (3)과 이전 포스팅의 Equation (31)으로 교환자(Commutator)에 대입하면, 이때, εijk는 레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol)로 다음과 같이 정의됩니다. 즉, ( i → j )가 (x→y→z→x→...)와 같은 순서를 만족하면 1이 될 것이고 ( i → j )가 (x→z→y→x→...)와 같은 순서를 만족하면 -1이라는 결과를 낸다는 것입니다. #Uncertainty principle 임의의 두 연산자에 대한 일반화된 불확정성의 원리에 따르면, ..

이제부터 실제 원자에 대해 분석을 시작할 것입니다. 가장 다루기가 쉬운 수소 원자에서부터 시작할 것인데, 그 이유는 진동 및 회전 운동뿐만 아니라 다루기가 까다로운 전자-전자 상호 작용이 없기 때문에 다른 원자나 분자 시스템 중에서 정확하게 해결할 수 있는 유일한 예시이기 때문입니다. 그리고 수소 원자의 결과를 통해서 더 복잡한 원자를 구성하기 위한 기본적인 전자 구조를 예측할 수 있기 때문입니다. Figure 1은 구형 좌표계를 소개하는 그림이며, 경계 조건을 이해하는데 도움을 줄 수 있을 것입니다. #Hamiltonian for the Hydrogen Atom 구면 좌표계로 표현한 라플레시안을 이용한 Equation (1)을 통해 수소 원자의 슈뢰딩거 방정식을 구성하면, 이때, ψ는 r,θ,φ의 함수..

분자의 헤밀토니안은 electronic, transitional, vibrational 그리고 rotational term으로 구성이 됩니다. Electronic term은 전자의 양자적인 특성을 나타내는 반면 다른 것들은 원자핵(nuclei)의 양자역학적인 운동을 나타냅니다. 이러한 에너지 값은 적절한 주파수의 빛을 이용한 분광법을 이용해서 측정할 수 있습니다. 그중에서 첫 번째로 vibrational term에 대해 알아볼 것 입니다. #A Harmonic Oscillator Model : One Particle 훅의 법칙(Hook's law)에 의해서 단순 조화 진동자(simple harmonic oscillator)를 표현할 수 있습니다. Equation (2)는 Equation (3)로 표현될 ..