[Physical Chemistry] 수소 원자 #2 (The Hydrogen Atom #2)

 

#The angular momentum operators

 

구면 좌표계에서 각운동량 연산자(angular momentum operators)는 다음과 같습니다.

 

Pre_Equation (31)

Equation (1)

Equation (2)

Equation (3)

Equation (1)과 Equation (2), Equation (3)과 이전 포스팅의 Equation (31)^[각주:1]으로 교환자(Commutator)에 대입하면,

 

Equation (4)

Equation (5)

이때, ε_ijk는 레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol)로 다음과 같이 정의됩니다.

 

Equation (6)

 

즉, ( i → j )가 (x→y→z→x→...)와 같은 순서를 만족하면 1이 될 것이고 ( i → j )가 (x→z→y→x→...)와 같은 순서를 만족하면 -1이라는 결과를 낸다는 것입니다.

 

#Uncertainty principle

 

임의의 두 연산자에 대한 일반화된 불확정성의 원리에 따르면,

 

Equation (7)

Equation (5)에 따라서 각각의 각운동량은 불확정성 원리에 의해서 동시에 측정되지 못한다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 Equation (4)에서 그들은 L² 연산자와 교환 가능하므로 #Mutual set of eigenfunction ^[각주:2]에 따라 상호 고유 함수(Mutual eigenfunction)를 가져야 합니다.

 

예를 들면,

 

Equation (8)

그러나 L_x 연산자와 L_y 연산자의 경우 구면 조화 함수가 그들의 고유 함수가 아닙니다. 그러나, 구면 조화 함수를 적절한 계수와 선형으로 결합하면 고유 함수를 생성할 수 있습니다.

 

#Precession

 

Pre_Equation (32)

이전 포스팅의 Equation (32)^[각주:3]과 Equation (8)을 통해서,

 

Equation (9)

Equation (9)를 만족함을 확인할 수 있고, 따라서

 

Equation (10)

l과 m은 정수이기 때문에 Equation (10)을 통해 |m| ≤ l임을 증명할 수 있습니다.

 

Figure 1. Angular momentum quatization whem l=2

 

표현방법에서 알아챌 수 있듯이, L_z는 각운동량의 z-구성요소입니다. Figure 1을 참고하면 명확하게 이해할 수 있을 것입니다. 또한, 기댓값 <L_x>와 <L_y>도 0인 것을 알 수 있습니다. 이러한 결과를 설명하기 위해서 각운동량의 회전 벡터는 원뿔의 가장자리에 있어야 합니다. 즉, 전자가 고정된 축을 중심으로 회전하는 것이 아니라 지구의 자전처럼 고정된 크기와 L_z 성분을 가지고 세차운동(Precession)을 한다는 것입니다.

 

세차운동을 x-y 평면에 투영하면 z-축에 관한 원운동으로 나타낼 수 있는데, 이는 L_x와 L_y의 평균값이 0 임을 알려주며 회전축이 고정되어 있지 않을 수 있기 때문에, L_x와 L_y를 측정할 때의 불확정성을 알려줍니다. 이러한 운동을 궤도 세차운동(orbital precession)이라 부릅니다.

 

#Operator Method for the Angular Parts

 

지금까지 우리는 L²와 L_z 연산자의 고윳값 문제를 풀기 위해 직접적으로 미분방정식을 풀어왔습니다. 이번에는 미분 방정식을 풀지 않고 고윳값 문제를 해결하는 대체방법(alternative method)에 대해 알아볼 것입니다.

 

먼저, 새로운 연산자를 정의해봅시다.

 

Equation (11)

이 연산자는 L_z와 L²에 대해 다음과 같은 관계를 가지고 있습니다.

 

Equation (12)

Equation (13)

그리고, 

 

Equation (14)

그렇다면 L² 연산자의 고윳값 문제를 정의해봅시다.

 

Equation (15)

Equation (16)

Equation (16)을 만족하므로 우리는 l>0인 l에 대해서 α=l(l+1)ℏ²라고 둘 수 있습니다. 하지만, 아직 l이 정수인 조건은 없습니다.

 

Equation (17)

Equation (4)에서 그들은 L² 연산자와 교환 가능하므로 상호 고유 함수(Mutual eigenfunction)^[각주:4]를 가져야 합니다. 그러므로, 다음과 같은 식을 정의 할 수 있습니다.

 

Equation (18)

이제 우리는 l ≥ 0 및 |m| < l인 l과 m이 정수가 되어야 하고 함수 Y는 구면 조화 함수라는 것을 증명해야 합니다.

 

- Raising and lowering operators or ladder operator

 

Equation (13)과 Equation (17)을 이용해서

 

Equation (19)

즉, L_± 연산자는 l 값을 변화시키지 않습니다.

 

Equation (12)와 Equation (18)을 이용해서

 

Equation (20)

즉, L_± 연산자는 m값을 ±1씩 변화시킵니다. 그러므로, Equation (21)처럼 표현이 가능합니다.

 

Equation (21)

이러한 특징을 보여주기 때문에 L₊ 연산자와 L_-연산자는 올림 연산자(raising operator)와 내림 연산자(lowering operator), 또는 사다리 연산자(ladder operator)라고 불립니다.

 

- Maximum and minimum values of m

 

수반 연산자(adjoint operator, † )는 다음과 같습니다.

 

Equation (22)

에르미트 연산자(hermitian operator)에 대해서 A†=A가 성립합니다. L₊와 L_-의 경우 서로 수반(adjoint)합니다. 즉, 

 

Equation (23)

임의의 l과 m 조합에 대해서,

 

Equation (24)

그러므로 m의 최댓값은 l임을 알 수 있습니다. 비슷하게, L_-에 대해서도 반복하면

 

Equation (25)

따라서 m의 최솟값은 -l임을 알 수 있습니다. 그러므로 l과 m이 다음과 같은 관계를 가짐을 증명했습니다. 

 

Eq (26)

m=l일 때 함수 Y에 L_- 연산자를 반복적으로 적용시키면,

 

Equation (27)

Equation (28)

Equation (29)

Equation (30)

Equation (31)

그러므로 l과 m은 정수가 되어야 합니다.

 

- Spherical harmonics

 

Equation (3)를 이용해서 

 

Equation (32)

Equation (33)

m이 최댓값 l일 때 Equation (34)가 성립합니다.

Equation (34)

그리고 Equation (1)과 Equation (2), Equation (11)을 통해서

 

Equation (35)

Equation (36)

Equation (36)을 만족하는 함수는 Equation (37)입니다.

 

Equation (37)

그러므로

 

Equation (38)

Equation (27)에서 Equation (31)에 의해서

 

Equation (39)

이전 포스팅의 Equation (29)^[각주:5]과 동일한 구면 조화 함수가 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

 

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1. 관련 포스팅 : https://d2illy.tistory.com/34 [본문으로]
2. 관련 포스팅 " https://d2illy.tistory.com/31 [본문으로]
3. 관련 포스팅 : https://d2illy.tistory.com/34 [본문으로]
4. 관련 포스팅 " https://d2illy.tistory.com/31 [본문으로]
5. 관련 포스팅 : https://d2illy.tistory.com/34 [본문으로]