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#Postulate 4 시스템이 임의의 상태 Ψ일 때, 연산자 Â의 측정 가능한 평균값(Average value)은 다음과 같이 계산할 수 있다. 예를 들어 ψn이 Â의 고유 함수인 Ψ=ψn에 대해서 연산자 Â의 평균값을 구해보면, 그리고 Â2의 평균값을 구해보면, 그러므로 측정의 분산은 ψn이 Â의 고유함수인 Ψ=Σncnψn에 대해서 연산자 Â의 평균값을 구해보면, 그리고 Â2의 평균값을 구해보면, 마찬가지로 측정의 분산은, #Postulate 5 파동 또는 상태 함수의 운동 방정식은 시간 의존 슈뢰딩거 방정식으로 표현됩니다. 여기서, Ψ(x,t)는 Ĥ의 고유 함수가 될 필요가 없으며 이를 통해서 헤밀토니안은 시간 의존성을 가질 수 있다는 것이 중요합니다. Ĥ 이 시간에 따라서 변하지 않는..

Postulate란 공준(公準)으로 요청이라고 하며 공리와 비슷한 뜻으로 사용됩니다. 공리란 어떤 이론을 전개하기 위해서 증명 없이 참이라고 가정되는 명제를 뜻하지만, 공준은 특정 분야에만 한정된 공리를 말합니다. 즉, 양자역학에 한한 공리에 대해서 알아볼 것입니다. # Postulate 1 첫번째 공준(Postulate)에 대해서 알아봅시다. 1. 양자역학적인 시스템에서 모든 정보는 파동(또는 상태) 함수로부터 유도될 수 있다. 2. |ψ(x)|2dx는 입자가 x와 x+dx 사이에서 존재 할 확률이다. 3. |ψ(p)|2dp는 입자의 운동량이 p와 p+dp 사이에서 존재할 확률이다. 4. 정규화 조건은 다음과 같다. 5. 3차원에서 P(x,y,z) = |ψ(x, y, z)|2 dxdydz이다. 6. 많..

이전 포스팅에서 알아보았던 1차원 상자 속 입자(Particle in a 1D Box)를 3차원으로 확장시켜봅시다. 먼저 선형 연산자의 유용한 성질을 알아봅시다. # Useful property of the linear operator 선형 연산자의 성질을 알아보기 위해 선형 연산자와 그들의 고윳값 문제의 집합을 정의해봅시다. 이때, 선형 연산자들은 서로 독립적입니다. . 이러한 선형 연산자의 합으로 정의되는 새로운 선형 연산자의 고유 함수와 교윳값은 각 선형 연산자의 고윳값과 고유 함수의 합으로 표현됩니다. 이를 수식으로 표현하면, 이러한 결과가 나오는 이유는 이므로 이러한 성질을 운동량 연산자에 적용시켜보면 Equation (5)를 얻을 수 있습니다. 이때, ∇(nabla)는 델 연산자입니다. 각 운..

이전 포스팅에서 알아보았던 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 1차원 상자에 있는 입자에 적용시켜봅시다. # Particle in a 1D-Box Figure 1에 묘사되어 있는 1차원 상자의 포텐셜은 Figure 2처럼 주어집니다. 0과 L사이를 제외한 모든 구역은 포텐셜이 무한이기 때문에 무한 포텐셜 우물이라고도 불립니다. 먼저, 슈뢰딩거 방정식을 가져와봅시다. Equation (1)은 고윳값 문제로, 간단한 2계 미분 방정식으로 이를 만족하는 ψ(x)는 Figure 2를 통해서 우리는 경계 조건 2가지를 얻을 수 있습니다. ψ(0)과 ψ(L)을 Equation (2)를 이용해서 구해보면, 이므로 을 만족시켜야 하는 것을 알 수 있습니다. Equation (2)에서 k와 E 관계에 kL=nπ를 넣어주면 ..

고전적인 운동은 뉴턴의 운동 제2법칙이 적용된다는 것을 모두 알고 계실 것입니다. 하지만 드 브로이에 의해 제안된 것처럼 물질은 파동같이 행동하기도 합니다. 그러므로 입자의 물질파의 운동 방정식(Equation of Motion)이 존재할 것입니다. # The Schrödinger Equation 먼저, 전파되는 물질파 ψ(x,t)를 Equation (1)의 꼴로 시작해봅시다. 플랑크의 양자 가설 과 드 브로이 물질파를 Equation (1) 적용시키면 Equation (2)를 유도할 수 있습니다. 이 파동함수(Wavefunction)에는 입자의 에너지(E)와 모멘텀(p)의 정보를 모두 가지고 있는것을 확인할 수 있습니다. 이러한 파동 함수를 State wavefunction이라고 지칭합니다. 이러한 S..

[Physical Chemistry] Puzzling Experiment에서 잠시 언급되었던 수소 원자의 Rydberg Formula를 다시 살펴봅시다. Rydberg Formula에서 등장하는 정수 값(n)에 대해서 생각하던 de Broglie는 정상파(Standing Wave)를 묘사하는 정수 값과 같다는 것을 찾을 수 있었습니다. 즉, 양성자(proton) 주위를 전자가 원형 운동을 고려하면 아래의 그림과 같은 정상파가 정의될 수 있다는 것입니다. # Quantized Angular Momentum Figure 1에 따라 우리는 경계조건을 얻을 수 있습니다. 즉, 오직 Equation (2)를 만족시키는 파장 λ만이 허용된다는 것 입니다. Equation (2)에 드 브로이의 물질파 이론을 적용시키..